Номер 891 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№891. Докажите теорему Менелая (задача 890) для случая, когда точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на продолжениях сторон $A B$ , $BC$ и $A C$ треугольника $A BC$ .

Дано:

$C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ лежат на одной прямой $m$

и на продолжениях $A B$ , $BC$ , $A C$

Доказать:

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$

Чертёж к задаче 891 — треугольник ABC и секущая m, пересекающая продолжения сторон

Доказательство:

Проведём через $B$ прямую, параллельную $A C$ ; она пересекает $m$ в точке $K$ .

Треугольники $A C_{1} B_{1}$ и $B C_{1} K$ подобны: угол при $C_{1}$ у них общий (точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $C_{1}$ ), а $B K ∥ A B_{1}$ :

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} = \frac{A B _{1}}{B K}

Так же подобны треугольники $K B A_{1}$ и $B_{1} C A_{1}$ :

\frac{B A _{1}}{A _{1} C} = \frac{B K}{C B _{1}}

Перемножаем три отношения:

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{A B _{1}}{B K} \cdot \frac{B K}{C B _{1}} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

Ответ: утверждение доказано.

Номер 891 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели