Номер 899 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№899. Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).

Дано:

вневписанные окружности касаются $BC$ , $C A$ , $A B$ в точках $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$

$BC = a, C A = b, A B = c$ , $p$ — полупериметр

Доказать:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке

Чертёж к задаче 899 — треугольник ABC с отрезками к точкам касания вневписанных окружностей

Доказательство:

Вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других. Пользуясь равенством отрезков касательных, проведённых из одной точки, получаем для окружности, касающейся стороны $BC$ :

B A_{1} = p - c, A_{1} C = p - b

Так же для двух других окружностей:

C B_{1} = p - a, B_{1} A = p - c, A C_{1} = p - b, C_{1} B = p - a

Поэтому

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{p - b}{p - a} \cdot \frac{p - c}{p - b} \cdot \frac{p - a}{p - c} = 1

По теореме, обратной теореме Чевы (задача 894), отрезки $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 899 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели