Номер 892 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№892. Пусть точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат соответственно на сторонах $A B$ , $BC$ и $A C$ треугольника $A BC$ или их продолжениях. Докажите: если $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$ , то точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на одной прямой (теорема, обратная теореме Менелая).

Дано:

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$

Доказать:

$C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ лежат на одной прямой

Чертёж к задаче 892 — треугольник ABC с точками A₁, C₁ и точкой B₁ на прямой AC

Доказательство:

Пусть прямая $A_{1} C_{1}$ пересекает прямую $A C$ в точке $B_{2}$ . По теореме Менелая (задачи 890 и 891)

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{2}}{B _{2} A} = 1

Сравнивая с данным равенством, получаем

\frac{C B _{2}}{B _{2} A} = \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = t

Точки $B_{1}$ и $B_{2}$ лежат на прямой $A C$ и делят её в одном и том же отношении $t$ , причём обе — либо внутри отрезка $A C$ , либо вне его (число точек на продолжениях сторон в обоих случаях нечётно). Тогда

A C = A B_{2} (1 + t) = A B_{1} (1 + t) или A C = A B_{2} ∣1 - t ∣ = A B_{1} ∣1 - t ∣

A B_{1} = A B_{2}, B_{1} = B_{2}

Значит, точка $B_{1}$ лежит на прямой $A_{1} C_{1}$ .

Ответ: утверждение доказано.

Номер 892 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели