Номер 893 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№893. Пусть точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат соответственно на сторонах $A B$ , $BC$ и $A C$ треугольника $A BC$ или их продолжениях. Докажите, что если прямые $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке, то верно равенство: $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$ (теорема Чевы).

Дано:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в точке $M$

Доказать:

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$

Чертёж к задаче 893 — треугольник ABC с тремя чевианами, пересекающимися в точке M

Доказательство:

Применим теорему Менелая к треугольнику $A B B_{1}$ и секущей $C C_{1}$ (она пересекает $A B$ в $C_{1}$ , $B B_{1}$ в $M$ , $B_{1} A$ в $C$ ):

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{BM}{M B _{1}} \cdot \frac{B _{1} C}{C A} = 1

И к треугольнику $CB B_{1}$ с секущей $A A_{1}$ :

\frac{B _{1} M}{MB} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C A}{A B _{1}} = 1

Перемножаем оба равенства; множители $\frac{BM}{M B _{1}}$ и $\frac{B _{1} M}{MB}$ , а также $\frac{B _{1} C}{C A}$ и $\frac{C A}{A B _{1}}$ дают

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{B _{1} C}{A B _{1}} = 1

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1

Ответ: утверждение доказано.

Номер 893 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели