Номер 894 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№894. Пусть точки $C_{1}$ , $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат соответственно на сторонах $A B$ , $BC$ и $A C$ треугольника $A BC$ или их продолжениях. Докажите, что если $\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$ , то прямые $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке (теорема, обратная теореме Чевы).

Дано:

$\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = 1$

Доказать:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке

Чертёж к задаче 894 — треугольник ABC с чевианами AA₁, CC₁ и прямой BM

Доказательство:

Пусть прямые $A A_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в точке $M$ , а прямая $BM$ пересекает $A C$ в точке $B_{2}$ . По теореме Чевы (задача 893)

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{2}}{B _{2} A} = 1

Сравнивая с данным равенством, получаем

\frac{C B _{2}}{B _{2} A} = \frac{C B _{1}}{B _{1} A}

Как и в задаче 892, отсюда следует $B_{1} = B_{2}$ . Значит, прямая $B B_{1}$ проходит через точку $M$ , то есть все три прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 894 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели