Номер 898 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№898. Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с лежащими на противоположных сторонах точками касания вписанной окружности с этими сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).

Дано:

вписанная окружность касается $BC$ , $C A$ , $A B$

в точках $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$

Доказать:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ пересекаются в одной точке

Чертёж к задаче 898 — треугольник ABC с вписанной окружностью и отрезками к точкам касания

Доказательство:

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому

A B_{1} = A C_{1}, B C_{1} = B A_{1}, C A_{1} = C B_{1}

Обозначим эти отрезки $x$ , $y$ , $z$ соответственно. Тогда

\frac{A C _{1}}{C _{1} B} \cdot \frac{B A _{1}}{A _{1} C} \cdot \frac{C B _{1}}{B _{1} A} = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x} = 1

По теореме, обратной теореме Чевы (задача 894), отрезки $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ пересекаются в одной точке.

Ответ: утверждение доказано.

Номер 898 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели