Номер 904 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№904. Докажите, что для всех хорд $A B$ данной окружности величина $\frac{A B ^{2}}{A D}$ , где $A D$ — расстояние от точки $A$ до касательной в точке $B$ , имеет одно и то же значение.

Дано:

$A B$ — хорда окружности радиуса $R$

$A D$ — расстояние от $A$ до касательной в точке $B$

Доказать:

$\frac{A B ^{2}}{A D} = 2 R$

Чертёж к задаче 904 — окружность с хордой AB, касательной в точке B и перпендикуляром AD

Доказательство:

Проведём диаметр $BC$ . Угол $B A C$ опирается на диаметр, поэтому он прямой. Угол $A D B$ тоже прямой по построению.

Угол между касательной и хордой $B A$ равен вписанному углу $A CB$ , опирающемуся на эту хорду:

∠ A B D = ∠ A CB

Значит, прямоугольные треугольники $A D B$ и $B A C$ подобны:

\frac{A D}{B A} = \frac{A B}{BC}, A B^{2} = A D \cdot BC

\frac{A B ^{2}}{A D} = BC = 2 R

Величина не зависит от выбора хорды.

Ответ: $2 R$ — диаметр данной окружности.

Номер 904 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели