№905. Через точку пересечения двух окружностей с центрами в точках и проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке , а другую — в точке . Докажите, что отрезок будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой .
Дано:
— общая точка окружностей, — вторые точки пересечения секущей
Доказать:
наибольший
Доказательство:
Проведём и . Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому — середина , а — середина :
Отрезок — проекция отрезка на прямую , а проекция наклонной не больше самой наклонной:
Равенство достигается только тогда, когда совпадает со своей проекцией, то есть когда .
Ответ: наибольший и равен , когда .
