Номер 1035 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для доказательства того, что четырёхугольник является прямоугольником, достаточно показать, что он является параллелограммом (противоположные стороны попарно равны), а его диагонали равны.

а) Координаты вершин: $A (- 3; - 1)$ , $B (1; - 1)$ , $C (1; - 3)$ , $D (- 3; - 3)$ .

1) Найдём длины сторон четырёхугольника $A BC D$ :

A B = (1 - (- 3))^{2} + (- 1 - (- 1))^{2} = 4^{2} + 0 = 4

C D = (- 3 - 1)^{2} + (- 3 - (- 3))^{2} = (- 4)^{2} + 0 = 4

BC = (1 - 1)^{2} + (- 3 - (- 1))^{2} = 0 + (- 2)^{2} = 2

A D = (- 3 - (- 3))^{2} + (- 3 - (- 1))^{2} = 0 + (- 2)^{2} = 2

Так как $A B = C D$ и $BC = A D$ , противоположные стороны попарно равны, значит, $A BC D$ — параллелограмм.

2) Найдём длины диагоналей $A C$ и $B D$ :

A C = (1 - (- 3))^{2} + (- 3 - (- 1))^{2} = 4^{2} + (- 2)^{2} = 16 + 4 = 20

B D = (- 3 - 1)^{2} + (- 3 - (- 1))^{2} = (- 4)^{2} + (- 2)^{2} = 16 + 4 = 20

Так как диагонали равны ( $A C = B D$ ), параллелограмм $A BC D$ является прямоугольником.

3) Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон:

S = A B \cdot BC = 4 \cdot 2 = 8

б) Координаты вершин: $A (4; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (- 1; 4)$ , $D (0; 0)$ .

1) Найдём длины сторон четырёхугольника $A BC D$ :

A B = (3 - 4)^{2} + (5 - 1)^{2} = (- 1)^{2} + 4^{2} = 1 + 16 = 17

BC = (- 1 - 3)^{2} + (4 - 5)^{2} = (- 4)^{2} + (- 1)^{2} = 16 + 1 = 17

C D = (0 - (- 1))^{2} + (0 - 4)^{2} = 1^{2} + (- 4)^{2} = 1 + 16 = 17

A D = (0 - 4)^{2} + (0 - 1)^{2} = (- 4)^{2} + (- 1)^{2} = 16 + 1 = 17

Так как все стороны равны, $A BC D$ — ромб (а ромб — это тоже параллелограмм).

2) Найдём длины диагоналей $A C$ и $B D$ :

A C = (- 1 - 4)^{2} + (4 - 1)^{2} = (- 5)^{2} + 3^{2} = 25 + 9 = 34

B D = (0 - 3)^{2} + (0 - 5)^{2} = (- 3)^{2} + (- 5)^{2} = 9 + 25 = 34

Так как диагонали ромба равны ( $A C = B D$ ), он является прямоугольником (в данном случае — квадратом).

3) Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон:

S = A B \cdot BC = 17 \cdot 17 = 17

Чертёж к задаче 1035 — два прямоугольника на координатной плоскости

Ответ:
а) $S = 8$ ;
б) $S = 17$ .

Номер 1035 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели