Номер 1038 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для доказательства воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольный треугольник $A BC$ в прямоугольную систему координат так, чтобы вершина прямого угла $C$ совпала с началом координат, а катеты лежали на положительных полуосях.

1) Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты:
$C (0; 0)$ .
$A (0; b)$ — точка на оси $O y$ .
$B (a; 0)$ — точка на оси $O x$ .

2) Найдём координаты середины $M$ гипотенузы $A B$ (по формулам координат середины отрезка):

x_{M} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}, y_{M} = \frac{b + 0}{2} = \frac{b}{2} \Rightarrow M (\frac{a}{2}; \frac{b}{2})

3) Поскольку точка $M$ — середина $A B$ , она равноудалена от вершин $A$ и $B$ . Найдём расстояния $M A$ и $MB$ . Они равны половине гипотенузы $A B$ . По формуле длины отрезка:

A B = (a - 0)^{2} + (0 - b)^{2} = a^{2} + b^{2}

Следовательно:

M A = MB = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

4) Найдём расстояние от середины гипотенузы $M$ до вершины прямого угла $C$ по формуле расстояния между двумя точками:

MC = (\frac{a}{2} - 0)^{2} + (\frac{b}{2} - 0)^{2} = \frac{a ^{2}}{4} + \frac{b ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{4} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

5) Сравнивая полученные результаты, видим, что:

M A = MB = MC = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}

Значит, точка $M$ равноудалена от всех трёх вершин прямоугольного треугольника $A BC$ . Утверждение доказано.

Чертёж к задаче 1038 — прямоугольный треугольник в системе координат

Номер 1038 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели