Номер 1044 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для доказательства этого тождества воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат так, чтобы его вершина $A$ находилась в начале координат, а стороны $AD$ и $AB$ лежали на положительных полуосях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

Пусть длины сторон прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда координаты его вершин будут следующими:
$A(0;0)$;
$B(0;b)$;
$C(a;b)$;
$D(a;0)$.

Обозначим координаты произвольной точки $M$ на плоскости как $(x;y)$.

Выразим квадраты расстояний от точки $M$ до всех четырёх вершин прямоугольника, используя формулу расстояния между двумя точками:

Теперь найдём сумму квадратов расстояний для первой пары вершин ($A$ и $C$):

Аналогично найдём сумму квадратов расстояний для второй пары вершин ($B$ и $D$):

Сравнив полученные выражения для сумм квадратов, мы видим, что они абсолютно идентичны (отличаются лишь порядком слагаемых). Следовательно:

Тождество выполняется для любой точки $M$. Что и требовалось доказать.