№1042. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Решение:
1. Прямое утверждение: Если трапеция равнобедренная, то её диагонали равны.
Доказательство: Введём систему координат. Так как трапеция равнобедренная, её удобно расположить симметрично относительно оси ординат . Пусть ось проходит через нижнее основание.
Тогда координаты вершин будут:
и — нижнее основание;
и — верхнее основание ().
Найдём квадраты длин диагоналей и по формуле расстояния между точками:
Получили, что , следовательно, . Прямое утверждение доказано.
2. Обратное утверждение: Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
Доказательство: Поместим трапецию в декартову систему координат так, чтобы вершина совпала с началом координат, а нижнее основание лежало на оси .
Координаты вершин:
;
(где );
;
(верхнее основание параллельно оси , поэтому ординаты точек и равны).
По условию диагонали равны: , а значит, . Выразим их квадраты через координаты:
Приравняем:
Так как (точка лежит правее оси ) и (из свойств трапеции), извлекаем корень:
Теперь сравним длины боковых сторон и . Найдём их квадраты:
Мы видим, что , а значит, . Боковые стороны равны, следовательно, трапеция является равнобедренной. Обратное утверждение доказано.
