Номер 1043 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение:

Для доказательства воспользуемся методом координат. Поместим параллелограмм $A BC D$ в прямоугольную систему координат так, чтобы его вершина $A$ совпала с началом координат, а сторона $A D$ лежала на положительной полуоси $O x$ .

1) Введём координаты вершин параллелограмма:
$A (0; 0)$ ;
$D (a; 0)$ (где $a > 0$ — длина стороны $A D$ );
$B (b; c)$ (координаты произвольной точки $B$ , где $c > 0$ );
$C (a + b; c)$ (так как сторона $BC$ параллельна и равна стороне $A D$ , её длина равна $a$ , следовательно, абсцисса точки $C$ на $a$ больше абсциссы точки $B$ , а ординаты у них одинаковые).

2) По условию задачи диагонали параллелограмма равны: $A C = B D$ . Следовательно, равны и их квадраты: $A C^{2} = B D^{2}$ . Найдём квадраты длин диагоналей по формуле расстояния между двумя точками:

A C^{2} = (a + b - 0)^{2} + (c - 0)^{2} = (a + b)^{2} + c^{2}

B D^{2} = (a - b)^{2} + (0 - c)^{2} = (a - b)^{2} + c^{2}

3) Приравняем полученные выражения:

(a + b)^{2} + c^{2} = (a - b)^{2} + c^{2}

Вычтем из обеих частей уравнения $c^{2}$ и раскроем квадраты суммы и разности:

a^{2} + 2 ab + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Перенесём все слагаемые с $ab$ в левую часть, а остальные — в правую:

2 ab + 2 ab = a^{2} - a^{2} + b^{2} - b^{2}

4 ab = 0

4) Поскольку $a$ — это длина стороны параллелограмма ( $a \neq = 0$ ), то равенство $4 ab = 0$ возможно только в том случае, если $b = 0$ .

5) Подставим $b = 0$ в координаты точек $B$ и $C$ :

Вершина $B (0; c)$ лежит на оси ординат $O y$ .
Это означает, что сторона $A B$ лежит на оси $O y$ , а сторона $A D$ — на оси $O x$ . Оси координат перпендикулярны, значит, угол $B A D = 9 0^{\circ}$ .

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Чертёж к задаче 1043 — доказательство свойства диагоналей прямоугольника

Номер 1043 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели