Номер 1084 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1084. Докажите, что четырёхугольник $A BC D$ , вершины которого имеют координаты $A (3; 2)$ , $B (0; 5)$ , $C (- 3; 2)$ , $D (0; - 1)$ , является квадратом.

Чертёж к задаче 1084 — четырехугольник ABCD в координатной плоскости

Доказательство:

Чтобы доказать, что фигура — квадрат, сначала докажем, что это ромб (т.е. все его стороны равны), а затем — что у него равны диагонали.

1) Найдем длины всех сторон по формуле расстояния между точками:

A B = (0 - 3)^{2} + (5 - 2)^{2} = (- 3)^{2} + 3^{2} = 9 + 9 = 18

BC = (- 3 - 0)^{2} + (2 - 5)^{2} = (- 3)^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18

C D = (0 - (- 3))^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 3^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18

A D = (0 - 3)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = (- 3)^{2} + (- 3)^{2} = 9 + 9 = 18

Так как $A B = BC = C D = A D$ , то четырехугольник $A BC D$ — ромб.

2) Найдем длины диагоналей:

A C = (- 3 - 3)^{2} + (2 - 2)^{2} = (- 6)^{2} + 0 = 36 = 6

B D = (0 - 0)^{2} + (- 1 - 5)^{2} = 0 + (- 6)^{2} = 36 = 6

Так как диагонали равны ( $A C = B D$ ), ромб $A BC D$ является квадратом.

Ч.т.д.

Номер 1084 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели