№1084. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты A(3;2), B(0;5), C(−3;2), D(0;−1), является квадратом.
Доказательство:
Чтобы доказать, что фигура — квадрат, сначала докажем, что это ромб (т.е. все его стороны равны), а затем — что у него равны диагонали.
1) Найдем длины всех сторон по формуле расстояния между точками:
AB=(0−3)2+(5−2)2=(−3)2+32=9+9=18 BC=(−3−0)2+(2−5)2=(−3)2+(−3)2=9+9=18 CD=(0−(−3))2+(−1−2)2=32+(−3)2=9+9=18 AD=(0−3)2+(−1−2)2=(−3)2+(−3)2=9+9=18 Так как AB=BC=CD=AD, то четырехугольник ABCD — ромб.
2) Найдем длины диагоналей:
AC=(−3−3)2+(2−2)2=(−6)2+0=36=6 BD=(0−0)2+(−1−5)2=0+(−6)2=36=6 Так как диагонали равны (AC=BD), ромб ABCD является квадратом.
Ч.т.д.
