Номер 1090 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Подготовительные вычисления:

Найдём координаты середин сторон треугольника (точек $M_{AB}$, $M_{BC}$, $M_{CA}$) по формулам координат середины отрезка $x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}$:

Найдём координаты векторов сторон (они будут нормальными векторами для серединных перпендикуляров):

а) Уравнения серединных перпендикуляров

Серединный перпендикуляр к стороне проходит через её середину, а вектор самой стороны является для него нормальным (перпендикулярным). Уравнение прямой по точке $(x_0;y_0)$ и нормальному вектору $\vec{n}\{A;B\}$ имеет вид: $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$.

К стороне $AB$: нормальный вектор $\overrightarrow{n_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\{5;-3\}$, точка $M_{AB}(-2;2)$.

К стороне $BC$: нормальный вектор $\overrightarrow{n_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\{1;2\}$, точка $M_{BC}(4;1)$.

К стороне $CA$: нормальный вектор $\overrightarrow{n_3}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\{6;-1\}$, точка $M_{CA}(-1;4)$.

б) Уравнения прямых $AB$, $BC$ и $CA$

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Прямая $AB$:

Прямая $BC$:

Прямая $CA$:

в) Уравнения средних линий треугольника

Средняя линия параллельна одной из сторон и проходит через середины двух других сторон. Две параллельные прямые имеют одинаковые нормальные векторы. Их можно взять из уравнений сторон (коэффициенты при $x$ и $y$).

Средняя линия, параллельная $AB$: нормальный вектор $\vec{n}\{3;5\}$, проходит через $M_{CA}(-1;4)$ (или $M_{BC}$).

Средняя линия, параллельная $BC$: нормальный вектор $\vec{n}\{2;-1\}$, проходит через $M_{AB}(-2;2)$.

Средняя линия, параллельная $CA$: нормальный вектор $\vec{n}\{1;6\}$, проходит через $M_{AB}(-2;2)$.