Номер 1092 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Правило:

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{AB}$и $\overrightarrow{AC}$(или любая другая пара векторов, образованная этими точками) коллинеарны. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, их координаты должны быть пропорциональны.

а) $A(-2;0)$, $B(3;2,5)$, $C(6;4)$

Найдём координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:

Найдём координаты вектора $\overrightarrow{AC}$:

Проверим пропорциональность координат:

Равенство верное (обе части равны $0,625$). Значит, векторы коллинеарны, и точки лежат на одной прямой.

б) $A(3;10)$, $B(3;12)$, $C(3;-6)$

Найдём координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:

Найдём координаты вектора $\overrightarrow{AC}$:

Так как $x$-координаты обоих векторов равны нулю, оба вектора параллельны оси ординат ($Oy$). Это означает, что векторы коллинеарны, и точки лежат на одной вертикальной прямой.

в) $A(1;2)$, $B(2;5)$, $C(-10;-31)$

Найдём координаты вектора $\overrightarrow{AB}$:

Найдём координаты вектора $\overrightarrow{AC}$:

Проверим пропорциональность координат:

После сокращения дроби справа получаем $-\frac{1}{11}=-\frac{1}{11}$. Равенство верное. Значит, векторы коллинеарны, и точки лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать во всех трёх пунктах.