Номер 1094 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Чертёж к задаче 1094 — трапеция, её диагонали и отрезок, соединяющий середины диагоналей

Доказательство:

Пусть дана трапеция $A BC D$ с основаниями $A D$ и $BC$ ( $A D ∥ BC$ , $A D > BC$ ). Пусть $M_{1}$ — середина диагонали $A C$ , а $M_{2}$ — середина диагонали $B D$ .

Решим задачу векторным методом. Выразим векторы к точкам $M_{1}$ и $M_{2}$ из общей вершины $A$ :

1. Так как точка $M_{1}$ — середина отрезка $A C$ , вектор $A M_{1}$ равен половине вектора диагонали:

A M_{1} = \frac{1}{2} A C

2. Так как точка $M_{2}$ — середина отрезка $B D$ , вектор $A M_{2}$ является медианой в треугольнике $A B D$ . По формуле медианы (через векторы сторон угла):

A M_{2} = \frac{1}{2} (A B + A D)

3. Найдём вектор искомого отрезка $M_{1} M_{2}$ как разность векторов конца и начала:

M_{1} M_{2} = A M_{2} - A M_{1}

Подставим полученные ранее выражения:

M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A B + A D) - \frac{1}{2} A C

M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A D + CB A B - A C)

По правилу вычитания векторов $A B - A C = CB$ . Получаем:

M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A D + CB)

Так как $CB = - BC$ , перепишем выражение в виде разности:

M_{1} M_{2} = \frac{1}{2} (A D - BC)

4. Поскольку основания трапеции параллельны ( $A D ∥ BC$ ), векторы $A D$ и $BC$ сонаправлены. А длина разности двух сонаправленных векторов равна разности их длин:

∣ M_{1} M_{2} ∣ = \frac{1}{2} (∣ A D ∣ - ∣ BC ∣) = \frac{A D - BC}{2}

Таким образом, длина отрезка $M_{1} M_{2}$ равна полуразности оснований трапеции. Что и требовалось доказать.

Номер 1094 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели