Номер 1095 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Доказательство (метод координат):

1. Введём прямоугольную систему координат. Пусть $O(0;0)$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, точка $O$ является серединой как отрезка $AC$, так и отрезка $BD$.

Тогда координаты противоположных вершин будут отличаться только знаком. Обозначим их как:

2. Пусть $M(x;y)$ — произвольная точка на плоскости.

3. Выразим сумму квадратов расстояний от точки $M$ до вершин $A$ и $C$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками:

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности. При сложении слагаемые вида $2xa$ и $-2xa$ взаимно уничтожатся:

Аналогично распишем сумму квадратов расстояний от точки $M$ до вершин $B$ и $D$:

4. Найдём искомую разность полученных выражений:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Переменные $2x^2$ и $2y^2$ взаимно уничтожаются:

Мы видим, что в итоговом выражении отсутствуют переменные координаты $x$ и $y$ точки $M$. Выражение зависит только от констант — координат вершин параллелограмма.

Следовательно, величина данной разности не зависит от выбора точки $M$ и остаётся постоянной. Что и требовалось доказать.