№1096. Докажите, что медиану треугольника можно вычислить по формуле . Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Часть 1: Доказательство формулы медианы
Для вывода формулы воспользуемся методом координат. Поместим треугольник в прямоугольную систему координат так, чтобы середина стороны — точка — совпала с началом координат , а сама сторона лежала на оси абсцисс ().
Пусть длина отрезка . Тогда координаты вершин будут:
Пусть третья вершина имеет произвольные координаты: .
Выразим квадраты длин сторон и по формуле квадрата расстояния между двумя точками:
Сложим полученные выражения, предварительно умножив их на 2:
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Слагаемые и взаимно уничтожаются:
Обратим внимание на полученные слагаемые:
Заменяем выражения в равенстве:
Выразим отсюда квадрат медианы :
Извлекая квадратный корень, получаем искомую формулу:
Формула доказана.
Часть 2: Доказательство свойства равнобедренного треугольника
Пусть в треугольнике равны две медианы: . Докажем, что .
Если медианы равны, то равны и их квадраты: .
Запишем формулу квадрата медианы для (как мы вывели ранее):
Аналогично запишем формулу для медианы , проведённой к стороне :
Приравняем эти два выражения:
Умножим обе части уравнения на 4 и вычтем из обеих частей :
Перенесём слагаемые с в левую часть, а с в правую:
Так как длины сторон — положительные числа, из этого следует, что .
Следовательно, треугольник — равнобедренный, что и требовалось доказать.
