Номер 1099 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

1. Проверка принадлежности точек единичной полуокружности

Уравнение единичной окружности с центром в начале координат имеет вид: $x^2+y^2=1$.

Единичная полуокружность располагается в верхней полуплоскости, поэтому для всех её точек ордината $y\ge 0$.

Проверим каждую точку, подставив её координаты в уравнение $x^2+y^2=1$. Заметим, что у всех данных точек вторая координата (ордината) неотрицательна.

• $M_1(0;1):0^2+1^2=0+1=1$ — принадлежит.
• $M_2\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right):{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$ — принадлежит.
• $M_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right):{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=\frac{4}{4}=1$ — принадлежит.
• $M_4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right):{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1$ — принадлежит.
• $A(1;0):1^2+0^2=1+0=1$ — принадлежит.
• $B(-1;0):(-1{)}^2+0^2=1+0=1$ — принадлежит.

Следовательно, все заданные точки лежат на единичной полуокружности.

2. Значения синуса, косинуса и тангенса

По определению тригонометрических функций для угла $\alpha$ от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$, если луч $h$, исходящий из начала координат и образующий угол $\alpha$ с положительной полуосью абсцисс, пересекает единичную полуокружность в точке $M(x;y)$, то:

Выпишем значения для соответствующих углов, используя координаты заданных точек:

Угол $\angle AO{M}_1$ (точка $M_1(0;1)$):

• $\sin (\angle AO{M}_1)=1$
• $\cos (\angle AO{M}_1)=0$
• $\text{tg}(\angle AO{M}_1)$ не существует (так как деление на ноль: $x=0$)

Угол $\angle AO{M}_2$ (точка $M_2\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$):

• $\sin (\angle AO{M}_2)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos (\angle AO{M}_2)=\frac{1}{2}$
• $\text{tg}(\angle AO{M}_2)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

Угол $\angle AO{M}_3$ (точка $M_3\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$):

• $\sin (\angle AO{M}_3)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos (\angle AO{M}_3)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\text{tg}(\angle AO{M}_3)=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1$

Угол $\angle AO{M}_4$ (точка $M_4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$):

• $\sin (\angle AO{M}_4)=\frac{1}{2}$
• $\cos (\angle AO{M}_4)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\text{tg}(\angle AO{M}_4)=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Угол $\angle AOB$ (точка $B(-1;0)$):

• $\sin (\angle AOB)=0$
• $\cos (\angle AOB)=-1$
• $\text{tg}(\angle AOB)=\frac{0}{-1}=0$