Номер 1097 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка $A$ совпала с началом координат $(0;0)$, а точка $B$ лежала на положительной полуоси абсцисс.

Пусть длина отрезка $AB=a$. Тогда координаты заданных точек:

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x;y)$.

По формуле расстояния между двумя точками выразим квадраты расстояний $A{M}^2$ и $B{M}^2$:

Случай а) $2A{M}^2-B{M}^2=2A{B}^2$

Подставим квадраты расстояний в заданное условие (учитывая, что $AB=a$):

Раскроем скобки и упростим выражение:

Перенесём $-a^2$ в правую часть:

Дополним выражение с переменной $x$ до полного квадрата, прибавив к обеим частям уравнения $a^2$:

Это уравнение представляет собой каноническое уравнение окружности вида $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$.

Центр этой окружности имеет координаты $(-a;0)$, то есть точка $A$ является серединой отрезка между центром окружности и точкой $B$. Радиус этой окружности равен $R=2a=2AB$.

Ответ к пункту а): Окружность с радиусом $2AB$, центр которой — точка, симметричная точке $B$ относительно точки $A$.

Случай б) $2A{M}^2+2B{M}^2=6A{B}^2$

Аналогично подставим выражения квадратов расстояний:

Разделим обе части уравнения на 2:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

Снова разделим обе части на 2:

Для выделения полного квадрата прибавим к обеим частям уравнения $\frac{a^2}{4}$:

Мы снова получили уравнение окружности. Центр окружности имеет координаты $\left(\frac{a}{2};0\right)$. Это означает, что центр — середина отрезка $AB$.

Квадрат радиуса равен $\frac{5a^2}{4}$, следовательно, сам радиус $R=\sqrt{\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{AB\sqrt{5}}{2}$.

Ответ к пункту б): Окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом $\frac{AB\sqrt{5}}{2}$.