Номер 1267 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

а) Центры $O$ и $C$ не совпадают.

Построение:

1) Построим образ центра: отложим от луча $OC$ против часовой стрелки угол $\angle CO{C}_1=60^{\circ }$ и на его стороне отрезок $O{C}_1=OC$.

2) Проведём окружность с центром $C_1$ и радиусом $r$. Это искомая окружность.

Доказательство:

— Пусть $X$ — точка данной окружности ($CX=r$) и $X_1$ — её образ при повороте. Поворот сохраняет расстояния, поэтому $C_1{X}_1=CX=r$: точка $X_1$ лежит на построенной окружности.

— Пусть $Y$ — любая точка построенной окружности. Поворот отображает плоскость на себя, значит, $Y$ — образ некоторой точки $Z$. Тогда $CZ=C_{1}Y=r$: точка $Z$ лежит на данной окружности.

Итак, образ данной окружности — окружность с центром $C_1$ радиуса $r$. Заметим, что треугольник $OC{C}_1$ равносторонний ($OC=O{C}_1$, угол при $O$ равен $60^{\circ }$), поэтому $C{C}_1=OC$.

б) Точки $O$ и $C$ совпадают.

Центр поворота — неподвижная точка (п. 126), поэтому $C_1=C$. По доказанному образом окружности является окружность с центром $C$ и радиусом $r$, то есть сама данная окружность: при повороте вокруг своего центра окружность отображается на себя.