№1290. На сторонах и параллелограмма построены квадраты так, как показано на рисунке 378. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне .
Дано:
— параллелограмм
и — квадраты на сторонах и , лежащие по одну сторону от параллельных прямых и (на рисунке — выше сторон)
и — центры квадратов
Доказать:
,
Решение (параллельный перенос на вектор ):
1) В параллелограмме . Поэтому перенос на вектор переводит точку в и точку в , а отрезок — в отрезок .
2) Перенос — движение, поэтому квадрат он переводит в некоторый квадрат со стороной . Перенос не меняет направлений: прямая переходит в параллельную ей прямую , а полуплоскость, в которой лежит квадрат , — в полуплоскость с границей , направленную в ту же сторону. В этой же полуплоскости лежит и квадрат (по условию оба квадрата построены по одну сторону от параллельных прямых и ).
3) На данной стороне в данной полуплоскости можно построить только один квадрат. Значит, .
4) Центр квадрата — точка пересечения его диагоналей. Движение переводит диагонали в диагонали, поэтому центр переходит в центр : .
5) Перенос сдвигает каждую точку на вектор , поэтому . Векторы равны, значит, и .
Ответ: что и требовалось доказать.
