Номер 1289 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

№1289. Медианы $A A_{1}$ , $B B_{1}$ и $C C_{1}$ треугольника $A BC$ пересекаются в точке $M$ . Точки $A_{2}$ , $B_{2}$ и $C_{2}$ являются соответственно серединами отрезков $A M$ , $BM$ и $CM$ . Докажите, что $△ A_{1} B_{1} C_{1} = △ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

Дано:

$A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ — медианы $△ A BC$ , $M$ — точка их пересечения

$A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ — середины $A M$ , $BM$ , $CM$

Доказать:

$△ A_{1} B_{1} C_{1} = △ A_{2} B_{2} C_{2}$

Чертёж к задаче 1289 — треугольник ABC с медианами, точка M, треугольники A1B1C1 и A2B2C2, симметричные относительно M

Решение (центральная симметрия относительно точки $M$ ):

1) Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины: $A M = 2 \cdot M A_{1}$ . Точка $A_{2}$ — середина $A M$ , поэтому $M A_{2} = \frac{A M}{2} = M A_{1}$ .

2) Точка $A_{1}$ лежит на продолжении $A M$ за точку $M$ , а точка $A_{2}$ — на отрезке $A M$ , то есть по другую сторону от $M$ . Раз $M A_{1} = M A_{2}$ , точка $M$ — середина отрезка $A_{1} A_{2}$ , и точки $A_{1}$ и $A_{2}$ симметричны относительно $M$ .

3) Те же рассуждения для медиан $B B_{1}$ и $C C_{1}$ : точки $B_{1}$ и $B_{2}$ , а также $C_{1}$ и $C_{2}$ симметричны относительно $M$ .

4) Центральная симметрия относительно $M$ отображает $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ в $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ , а значит, треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ — на треугольник $A_{2} B_{2} C_{2}$ . Симметрия — движение, оно сохраняет расстояния, поэтому $A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2}$ , $B_{1} C_{1} = B_{2} C_{2}$ , $C_{1} A_{1} = C_{2} A_{2}$ , и треугольники равны по трём сторонам.

Ответ: что и требовалось доказать.

Номер 1289 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели