Номер 1288 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Построение:

1) Построим точку $D_1$, симметричную $D$ относительно прямой $BA$, и точку $D_2$, симметричную $D$ относительно прямой $BC$.

2) Проведём отрезок $D_1{D}_2$. Он пересекает сторону $BA$ в точке $E$, а сторону $BC$ в точке $F$. Это искомые точки.

Доказательство:

а) Точки $E$ и $F$ существуют. Симметрия сохраняет расстояния, а $B$ лежит на обеих осях, поэтому $B{D}_1=BD=B{D}_2$. Пусть $\angle ABD=\alpha$, $\angle DBC=\beta$, $\alpha +\beta =\angle ABC=\gamma$. Тогда $\angle D_{1}BA=\alpha$, $\angle CB{D}_2=\beta$ и

так как угол $ABC$ острый. Лучи $BA$ и $BC$ лежат внутри угла $D_{1}B{D}_2$ (в порядке $B{D}_1$, $BA$, $BC$, $B{D}_2$), поэтому каждый из них пересекает отрезок $D_1{D}_2$, и на отрезке точки расположены в порядке $D_1$, $E$, $F$, $D_2$.

б) Периметр. Точка $E$ лежит на оси $BA$, поэтому она неподвижна при симметрии и $DE=D_{1}E$. Аналогично $DF=D_{2}F$. Следовательно,

в) Любой другой выбор. Пусть $E^{\prime }$ — любая точка стороны $BA$, а $F^{\prime }$ — любая точка стороны $BC$. Так же, как в б), $D{E}^{\prime }=D_1{E}^{\prime }$ и $D{F}^{\prime }=D_2{F}^{\prime }$, поэтому

(ломаная $D_1{E}^{\prime }{F}^{\prime }{D}_2$ не короче отрезка $D_1{D}_2$). Равенство достигается, только когда $E^{\prime }$ и $F^{\prime }$ лежат на отрезке $D_1{D}_2$, то есть $E^{\prime }=E$, $F^{\prime }=F$. Значит, периметр $DEF$ наименьший, и он равен $D_1{D}_2$ (в равнобедренном треугольнике $D_{1}B{D}_2$ с боковой стороной $BD$ и углом $2\gamma$ при вершине это $2\cdot BD\cdot \sin \gamma$).

Замечание: условие «угол острый» нужно — при $\gamma \ge 90^{\circ }$ угол $D_{1}B{D}_2$ не меньше развёрнутого, и отрезок $D_1{D}_2$ не пересекает стороны угла.