Номер 1291 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение (перенос на вектор $\overrightarrow{AD}$):

1) Пусть перенос $T$ на вектор $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$переводит $S$ в точку $S_1$. Он переводит $A$ в $D$, $B$ в $C$, поэтому треугольник $ABS$ переходит в треугольник $DC{S}_1$.

2) Перенос переводит прямую в параллельную ей прямую, поэтому $D{S}_1\parallel AS$ и $C{S}_1\parallel BS$.

3) Так как $C{C}_1\perp AS$ и $AS\parallel D{S}_1$, то $C{C}_1\perp D{S}_1$: прямая $C{C}_1$ содержит высоту треугольника $CD{S}_1$, проведённую из вершины $C$. Аналогично $D{D}_1\perp BS$ и $BS\parallel C{S}_1$, поэтому $D{D}_1\perp C{S}_1$: прямая $D{D}_1$ содержит высоту, проведённую из вершины $D$.

4) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Две из них, $C{C}_1$ и $D{D}_1$, пересекаются в точке $K$, значит, третья высота — проведённая из $S_1$ перпендикулярно $CD$ — тоже проходит через $K$.

5) Итак, $K$ лежит на прямой, проходящей через $S_1$ перпендикулярно $CD$. Так как $CD\parallel AB$, эта прямая перпендикулярна и $AB$.

6) С другой стороны, $\overrightarrow{S{S}_1}=\overrightarrow{AD}$, а $AD\perp AB$ (в прямоугольнике). Значит, через точку $S_1$ проходит ещё и прямая $S{S}_1$, перпендикулярная $AB$. Перпендикуляр к прямой, проведённый через данную точку, единствен, поэтому прямая из шага 5 — это прямая $S{S}_1$, и точка $K$ лежит на ней. Следовательно, $SK\perp AB$ (на рисунке $K\ne S$).