Номер 1292 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Решение (поворот вокруг точки $O$ на $120^{\circ }$):

1) У вписанного равностороннего треугольника все три дуги по $120^{\circ }$, поэтому углы $AOB$, $BOC$, $COA$ равны $120^{\circ }$. Пусть $R$ — поворот вокруг $O$ на $120^{\circ }$ в том направлении, в котором мы идём по окружности от $A$ к $B$. Тогда $R(A)=B$, $R(B)=C$, $R(C)=A$.

2) Треугольник $A_1{B}_1{C}_1$ тоже равносторонний и обходится в том же направлении, поэтому и для него $R(A_1)=B_1$, $R(B_1)=C_1$, $R(C_1)=A_1$. Точки $A$ и $A_1$ различны (иначе треугольники совпали бы), и так же различны остальные пары.

3) Поворот $R$ переводит $A$ в $B$ и $A_1$ в $B_1$, поэтому прямая $A{A}_1$ переходит в прямую $B{B}_1$. Точно так же $B{B}_1$ переходит в $C{C}_1$, а $C{C}_1$ — в $A{A}_1$.

4) По задаче 1269 угол между прямой и её образом при повороте на $120^{\circ }$ равен $120^{\circ }$ или $60^{\circ }$. Значит, прямые $A{A}_1$, $B{B}_1$, $C{C}_1$ попарно различны и попарно пересекаются, образуя углы $60^{\circ }$ и $120^{\circ }$.

Случай 1: все три прямые проходят через одну точку $X$.

Точка $R(X)$ лежит на $R(A{A}_1)=B{B}_1$ и на $R(B{B}_1)=C{C}_1$. Различные прямые $B{B}_1$ и $C{C}_1$ имеют только одну общую точку — это $X$. Поэтому $R(X)=X$. При повороте на $120^{\circ }$ неподвижна только точка $O$, значит, $X=O$: все три прямые проходят через центр окружности.

Случай 2: общей точки у трёх прямых нет.

Тогда прямые пересекаются попарно в трёх различных точках и образуют треугольник. Каждый угол этого треугольника — угол между двумя из наших прямых, то есть равен $60^{\circ }$ или $120^{\circ }$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }$: угол $120^{\circ }$ в нём не поместился бы (три угла не меньше $120^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }=240^{\circ }$ > $180^{\circ }$). Значит, все три угла по $60^{\circ }$, и треугольник равносторонний.