Номер 1293 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

Пусть искомая прямая пересекает $a$ в точке $A$ и $b$ в точке $B$, причём $O$ — середина $AB$. Тогда $B$ — образ точки $A$ при центральной симметрии относительно $O$. Точка $A$ лежит на $a$, поэтому $B$ лежит на прямой $a^{\prime }$, симметричной $a$ относительно $O$. Но $B$ лежит и на $b$. Значит, $B$ — точка пересечения $a^{\prime }$ и $b$.

Построение:

1) Построим прямую $a^{\prime }$, симметричную $a$ относительно $O$: отметим на $a$ две точки $M$ и $N$, на лучах $MO$ и $NO$ отложим $O{M}^{\prime }=OM$ и $O{N}^{\prime }=ON$ и проведём прямую $M^{\prime }{N}^{\prime }$ — это $a^{\prime }$ (она параллельна $a$; на рисунке для наглядности показаны только точка $M$ и её образ $M^{\prime }$).

2) Найдём точку $B$ — пересечение прямых $a^{\prime }$ и $b$.

3) Проведём прямую $BO$. Она пересекает $a$ в точке $A$. Прямая $AB$ — искомая.

Доказательство:

Точка $A^{\prime }$, симметричная $B$ относительно $O$, лежит на прямой $BO$ и на прямой $a$ (симметрия переводит $a^{\prime }$ в $a$). Прямая $BO$ и $a$ имеют единственную общую точку, поэтому $A^{\prime }=A$. Итак, $A$ и $B$ симметричны относительно $O$, то есть $AO=OB$, $A\in a$, $B\in b$.

Исследование:

Прямая $a^{\prime }$ параллельна $a$, а $a$ пересекает $b$, поэтому $a^{\prime }$ тоже пересекает $b$ ровно в одной точке $B$. Прямая $BO$ не параллельна $a$: иначе она совпала бы с $a$ (ведь $BO$ и $a$ обе проходят через $A^{\prime }$), и $O$ лежала бы на $a$. Поэтому точка $A$ существует. Задача имеет единственное решение.