Номер 1294 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

Пусть $ABCD$ — искомая трапеция. Перенесём её диагональ $BD$ на вектор $\overrightarrow{BC}$: точка $B$ перейдёт в $C$, а точка $D$ — в некоторую точку $D_1$. Так как $D{D}_1\parallel BC\parallel AD$, точка $D_1$ лежит на прямой $AD$, причём за точкой $D$ (векторы $\overrightarrow{BC}$и $\overrightarrow{AD}$одинаково направлены) и $D{D}_1=BC=b$. Значит, $A{D}_1=AD+D{D}_1=a+b$.

Четырёхугольник $BC{D}_{1}D$ — параллелограмм ($BC\parallel D{D}_1$, $BC=D{D}_1$), поэтому $C{D}_1=BD=d_2$. Итак, треугольник $AC{D}_1$ известен по трём сторонам: $AC=d_1$, $C{D}_1=d_2$, $A{D}_1=a+b$.

Построение:

1) Построим треугольник $AC{D}_1$ по трём сторонам: $AC=d_1$, $C{D}_1=d_2$, $A{D}_1=a+b$.

2) На стороне $A{D}_1$ отложим от точки $A$ отрезок $AD=a$. Тогда $D{D}_1=b$.

3) Через точку $C$ проведём прямую, параллельную $A{D}_1$, и отложим на ней от $C$ в сторону точки $A$ отрезок $CB=b$ (то есть $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{D_{1}D}$).

4) Соединим $A$, $B$, $C$, $D$: $ABCD$ — искомая трапеция.

Доказательство:

$AD=a$ и $BC=b$ по построению, $BC\parallel AD$, поэтому $ABCD$ — трапеция с основаниями $a$ и $b$. Диагональ $AC=d_1$ по построению треугольника. Четырёхугольник $BC{D}_{1}D$ — параллелограмм ($\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{D{D}_1}$), поэтому $BD=C{D}_1=d_2$.

Исследование:

Треугольник со сторонами $a+b$, $d_1$, $d_2$ существует тогда и только тогда, когда $|d_1-d_2|<a+b<d_1+d_2$. При этом условии треугольник $AC{D}_1$ определён однозначно (с точностью до симметрии относительно прямой $A{D}_1$), а по нему однозначно находятся $D$ и $B$. Значит, трапеция единственна с точностью до равенства.