Номер 1295 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Анализ:

Допустим, треугольник $ABC$ построен. Поворот $R$ вокруг $A$ на $60^{\circ }$ по часовой стрелке (как на рисунке) переводит $B$ в $C$ ($AB=AC$, $\angle BAC=60^{\circ }$). Поэтому прямая $b$ переходит в некоторую прямую $b_1$, проходящую через $C$. Но $C$ лежит и на $c$, то есть $C$ — точка пересечения $b_1$ и $c$. Прямую $b_1$ можно построить, не пользуясь точками $B$ и $C$.

Построение:

1) Опустим из $A$ перпендикуляр $AH$ на прямую $b$.

2) Построим точку $H_1$ — образ $H$ при повороте $R$: $A{H}_1=AH$ и $\angle HA{H}_1=60^{\circ }$ (по часовой стрелке).

3) Через $H_1$ проведём прямую $b_1$, перпендикулярную $A{H}_1$. Это образ $b$: поворот сохраняет углы, поэтому образ прямой $b$, перпендикулярной $AH$, перпендикулярен $A{H}_1$ и проходит через $H_1$ (см. задачу 1268).

4) Найдём точку $C$ — пересечение $b_1$ и $c$. Прямая $b_1$ образует с $b$ угол $60^{\circ }$ (задача 1269), значит, не параллельна $c$, и точка $C$ существует.

5) Проведём окружности радиуса $AC$ с центрами $A$ и $C$. Они пересекаются в двух точках; та из них, что лежит на прямой $b$, и есть $B$.

Доказательство:

Так как $C$ лежит на $b_1$ — образе прямой $b$, точка $B^{\prime }$, из которой поворот $R$ переводит в $C$, лежит на $b$. Для неё $A{B}^{\prime }=AC$ и $\angle B^{\prime }AC=60^{\circ }$, поэтому треугольник $A{B}^{\prime }C$ равносторонний и $B^{\prime }C=AC$. Значит, $B^{\prime }$ — общая точка двух построенных окружностей, лежащая на $b$, то есть $B^{\prime }=B$. Итак, $B\in b$, $C\in c$, $AB=BC=CA$.

Сколько решений:

В любом искомом треугольнике вершина $C$ получается из $B$ поворотом вокруг $A$ на $60^{\circ }$ либо по часовой, либо против часовой стрелки. В первом случае получаем треугольник $ABC$ (прямая $b_1$), во втором — поворот на $60^{\circ }$ в другую сторону даёт прямую $b_1^{\prime }$, точку $C^{\prime }$ = $b_1^{\prime }$ $\cap$ $c$ и треугольник $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Каждая из прямых $b_1$ и $b_1^{\prime }$ образует с $c$ угол $60^{\circ }$ и пересекает её ровно в одной точке, поэтому каждому повороту отвечает ровно одно решение. Других решений нет.