Номер 162, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 55, §60

№162. У вахтёра в комнате доска с крючками. Всего 12 крючков, а на них 12 ключей. Доска упала и ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и развесил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что:

а) каждый ключ висит на своём крючке;

б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке;

в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках;

г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих?

✎ Запись в тетрадь

Дано:

12 ключей, 12 крючков, расстановка случайная

Найти:

вероятности событий а)–г)

Все способы развесить ключи:

N = 12!

а) «все на своих» — 1 способ:

P = \frac{1}{12 !} \approx 2, 088 \cdot 1 0^{- 9}

б) противоположное к а):

P = 1 - \frac{1}{12 !}

в) два ключа меняются местами, остальные на месте: 1 способ,

P = \frac{1}{12 !}

г) «ровно один не на своём» невозможен:

m = 0

P = 0

Ответ: а)

\frac{1}{12 !} \approx 2, 088 \cdot 1 0^{- 9}

; б)

1 - \frac{1}{12 !}

; в)

\frac{1}{12 !}

; г) 0.

Пояснение

Идея. Развесить ключи — значит переставить 12 ключей по 12 крючкам. Все $12!$ способов равновозможны (§60), поэтому считаем благоприятные способы и делим на $12!$ .

1Каждая расстановка — перестановка ключей; их $12!$ , и они равновозможны, так как ключи развешены случайно.
2Расстановка, где каждый ключ на своём месте, только одна — «тождественная».
3Событие «хотя бы один не на своём» противоположно событию а): вероятности в сумме дают 1.
4Если два определённых ключа поменять местами, а остальные оставить, получаем ровно одну расстановку — поэтому вероятность та же, что в а).
5Если ровно один ключ не на своём крючке, то его настоящий крючок занят каким-то другим ключом, и тот ключ тоже не на своём месте — «ровно один» невозможен. Благоприятных расстановок нет.

Номер 162, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели