Номер 165, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 57, §61

№165. Найдите:

а) $C_{4}^{3}$ ; б) $C_{5}^{2}$ ; в) $C_{7}^{5}$ ; г)* $C_{11}^{3}$ ; д)* $C_{12}^{6}$ ; е)* $C_{12}^{8}$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

C_{4}^{3}

C_{5}^{2}

C_{7}^{5}

C_{11}^{3}

C_{12}^{6}

C_{12}^{8}

Найти:

значения чисел сочетаний

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

а)

C_{4}^{3} = \frac{4 !}{3 ! 1 !} = 4

б)

C_{5}^{2} = \frac{5 !}{2 ! 3 !} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10

в)

C_{7}^{5} = \frac{7 !}{5 ! 2 !} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21

г)

C_{11}^{3} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165

д)

C_{12}^{6} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 !} = 924

е)

C_{12}^{8} = C_{12}^{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 !} = 495

Ответ: а) 4; б) 10; в) 21; г) 165; д) 924; е) 495.

Пояснение

Идея. Число сочетаний из $n$ по $k$ считаем по формуле $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ (§61) — или находим в треугольнике Паскаля (рис. 51).

1Подставляем $n$ и $k$ и сокращаем факториалы. Удобно сокращать больший из факториалов знаменателя: от $n!$ остаётся произведение $k$ убывающих множителей.
2Числа можно сверить с треугольником Паскаля на рис. 51: в строке с номером $n$ на $k$ -м месте стоит $C_{n}^{k}$ .
3Для $C_{12}^{6}$ в числителе шесть множителей, в знаменателе $6! = 720$ : $665280 : 720 = 924$ .
4 $C_{12}^{8} = C_{12}^{4}$ : выбрать 8 предметов из 12 — то же, что выбрать 4 оставшихся. Так считать короче.

Частая ошибка. В знаменателе стоят факториалы обоих чисел: $k!$ и $(n - k)!$ . Забыв один из них, получите неверный ответ.

Номер 165, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели