Номер 191, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 62, §62

№191. В квадрате $A BC D$ случайным образом выбирается точка $X$ . Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции $A MC D$ , где точка $M$ :

а) середина стороны $BC$ ;

б) делит отрезок $BC$ в отношении $1 : 2$ , считая от точки $C$ ;

в) делит отрезок $BC$ в отношении $m : n$ , считая от точки $B$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

квадрат

A BC D

M \in BC

Найти:

P (X \in A MC D)

Квадрат ABCD, точка M на стороне BC, BM : MC = m : n; трапеция AMCD закрашена, треугольник ABM — нет

Сторона

a

; трапеция

=

квадрат без

△ A BM

S = a^{2} - \frac{1}{2} a \cdot BM

P = 1 - \frac{BM}{2 a}

а)

BM = \frac{a}{2}

P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

б)

CM : MB = 1 : 2

BM = \frac{2}{3} a

P = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

в)

BM = \frac{m}{m + n} a

P = 1 - \frac{m}{2 ( m + n )} = \frac{m + 2 n}{2 m + 2 n}

Ответ: а)

\frac{3}{4}

; б)

\frac{2}{3}

; в)

\frac{m + 2 n}{2 m + 2 n}

Пояснение

Идея. Вероятность — отношение площади трапеции к площади квадрата (§62). Трапецию удобно получить, вырезав из квадрата прямоугольный треугольник $A BM$ .

1Отрезок $A M$ делит квадрат на треугольник $A BM$ с прямым углом $B$ и трапецию $A MC D$ . Площадь треугольника — половина произведения катетов $A B = a$ и $BM$ .
2Делим на $a^{2}$ : вероятность попасть в трапецию равна $1$ минус доля треугольника, $BM / (2 a)$ .
3Отношения в б) и в) считаются от разных точек. В б) от $C$ : $CM$ — одна часть, $MB$ — две, поэтому $BM = \frac{2}{3} a$ . В в) от $B$ : $BM$ — это $m$ частей из $m + n$ .

Проверка. В в) при $m = n$ получаем $\frac{3 n}{4 n} = \frac{3}{4}$ — совпадает с а).

Номер 191, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели