Номер 192, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 63, §62

№192. В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит:

а) вписанному в круг квадрату;

б) вписанному в круг равностороннему треугольнику.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

круг радиуса R; вписанные квадрат и правильный треугольник

Найти:

вероятности попасть в них

Радиус круга

R

S_{кр} = π R^{2}

а) Диагонали квадрата — диаметры:

d = 2 R

S = \frac{d ^{2}}{2} = 2 R^{2}

P = \frac{2 R ^{2}}{π R ^{2}} = \frac{2}{π} \approx 0, 637

б) Сторона треугольника

a = R 3

S = \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{3 3}{4} R^{2}

P = \frac{3 3 R ^{2}}{4 π R ^{2}} = \frac{3 3}{4 π} \approx 0, 413

Ответ: а)

\frac{2}{π} \approx 0, 637

; б)

\frac{3 3}{4 π} \approx 0, 413

Идея. Вероятность — отношение площади вписанной фигуры к площади круга (§62). Площади выражаем через радиус $R$ , он сократится.

1Площадь круга $π R^{2}$ — знаменатель в обоих пунктах.
2У вписанного квадрата вершины лежат на окружности, а диагональ проходит через центр, то есть равна диаметру $2 R$ . Площадь квадрата через диагональ: $d^{2} /2$ .
3Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$ , равна $R 3$ (из курса геометрии), площадь равностороннего треугольника — $\frac{a ^{2} 3}{4}$ .