Номер 211, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 70, §64

№211. Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Постройте дерево эксперимента. Укажите в дереве событие $A$ и найдите его вероятность, если событие $A$ состоит в том, что:

а) потребуется ровно два броска;

б) три раза выпала решка, а на четвёртый раз — орёл;

в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился в первый раз;

г) первые четыре броска окончатся решкой.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

монету бросают до первого орла

Найти:

дерево, событие

A

P (A)

для а)–г)

Дерево опыта «бросаем до первого орла»: на каждом шаге орёл (опыт кончается) или решка (бросаем дальше), вероятность каждого ребра 1/2

Каждое ребро дерева — бросок, вероятность

\frac{1}{2}

; цепь = произведение.1

а) цепь РО:

A = {РО}

P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

б) цепь РРРО:

P = (\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}

в) цепи РРО и РРРО:

P = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}

г) цепь РРРР (опыт не закончен):

P = \frac{1}{16}

Ответ: а)

\frac{1}{4}

; б)

\frac{1}{16}

; в)

\frac{3}{16}

; г)

\frac{1}{16}

Пояснение

Идея. Дерево опыта «до первого орла» растёт вниз: после решки бросаем снова, а после орла опыт заканчивается. Вероятность события — сумма вероятностей цепей, которые ему благоприятствуют (§64, §56).

1Вероятность каждого ребра равна $\frac{1}{2}$ : монета симметрична, броски независимы. Вероятность цепи по правилу умножения — $\frac{1}{2}$ в степени числа бросков.
2В пунктах а) и б) событие $A$ — одна цепь. РО содержит 2 броска, РРРО — 4 броска, поэтому вероятности $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{16}$ .
3В в) подходят две цепи: РРО (3 броска) и РРРО (4 броска). Они несовместны: орёл не может появиться в первый раз и на третьем, и на четвёртом броске. Вероятности складываем.
4В г) последний узел дерева РРРР — не «конец опыта», а ещё не закончившаяся цепочка. Событие «первые четыре броска — решка» — это именно она: $(\frac{1}{2})^{4}$ .

Проверка. Сумма вероятностей всех цепей до орла: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1$ (§64).

Номер 211, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели