Номер 216, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, с. 71, §64

№216. Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна $p$ , а вероятность неудачи равна $q = 1 - p$ . Найдите вероятность (выразите её через $p$ и $q$ ) события, заключающегося в том, что:

а) «успех случится при втором испытании»;

б) «успех случится позже четвёртого испытания»;

в) «успех случится не позже шестого испытания»;

г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».

✎ Запись в тетрадь

Дано:

вероятность успеха

p

, неудачи

q = 1 - p

Найти:

вероятности событий а)–г) через

p

q

Успех при

k

-м испытании:

q^{k - 1} p

а)

k = 2

: неудача, затем успех —

P = qp

б) позже четвёртого — первые 4 испытания неудачны:3

P = q^{4}

в) не позже шестого — противоположное событие к «первые 6 неудачны»:4

P = 1 - q^{6}

г)

k = 3, 4, 5

q^{2} p + q^{3} p + q^{4} p = q^{2} p (1 + q + q^{2})

p = 1 - q

(1 - q) (1 + q + q^{2}) = 1 - q^{3}

P = q^{2} (1 - q^{3})

Ответ: а)

qp

; б)

q^{4}

; в)

1 - q^{6}

; г)

q^{2} (1 - q^{3})

Пояснение

Идея. Вероятность успеха ровно при $k$ -м испытании — $q^{k - 1} p$ : сначала $k - 1$ неудач, потом успех. События в задаче собираются из таких цепочек или сводятся к неудачам подряд (§64).

1Это общая формула, из неё получаем все пункты. Если $p$ и $q$ не заданы числами, ответ остаётся выражением через них.
2Для $k = 2$ : одна неудача и успех, то есть $q \cdot p$ .
3«Позже четвёртого» значит: первые четыре испытания не принесли успеха. Складывать бесконечно много цепочек не нужно — достаточно вероятности четырёх неудач подряд $q^{4}$ .
4«Не позже шестого» — противоположное событие к «успеха не было в шести испытаниях»: $1 - q^{6}$ .
5Складываем цепочки для $k = 3, 4, 5$ , выносим общий множитель $q^{2} p$ . Затем заменяем $p$ на $1 - q$ и используем $(1 - q) (1 + q + q^{2}) = 1 - q^{3}$ — формулу разности кубов.

Частая ошибка. Пункт б) — не $q^{4} p$ : успех при пятом испытании — лишь одно из событий «позже четвёртого». Здесь нужны все возможные $k > 4$ .

Номер 216, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели