Номер 276, часть 2 — ГДЗ Вероятность и статистика 9 класс Высоцкий, Ященко

Пояснение

Идея. Дисперсия числа успехов $npq$ при заданном $n$ зависит только от $p$. Раскрываем скобки и ищем наибольшее значение квадратного трёхчлена (указание книги, §72*).

1. 1Подставляем $q=1-p$ и получаем многочлен второй степени относительно $p$, где $n$ — постоянный множитель. $p$ — вероятность, поэтому берём $0\le p\le 1$.
2. 2Парабола с ветвями вниз достигает наибольшего значения в вершине. Абсцисса вершины $-\frac{b}{2a}$ равна $\frac{1}{2}$ и не зависит от $n$. Смысл: дисперсия наибольшая, когда успех и неудача равновероятны, то есть исход наименее предсказуем.
3. 3В вершине $pq=\frac{1}{4}$, поэтому $\mathrm{D}S=\frac{n}{4}$, а стандартное отклонение — корень: $\frac{\sqrt{n}}{2}$. Для любого другого $p$ оно меньше.

Проверка. Для $n=100$: при $p=0,5$ получаем $\sqrt{25}=5$, при $p=0,36$ из №271 было $4,8<5$.